矩阵分解的金融应用

上一课的低秩重构可以写成 A=UΣVᵀ。保留前两项时，U、Σ、Vᵀ 的乘积形状仍要回到原矩阵。例如一个 6×5 矩阵保留两项，三个部分可以是 6×2、2×2、2×5，乘积仍为 6×5；重构值可能从 1 变成 1.41、从 5 变成 5.18，这些差异就是丢掉的信息。

金融里可以设 R 的行是股票，列是交易日，R_i,t 是第 i 只股票在第 t 天的收益。16 只股票、722 个交易日会形成 16×722 的矩阵；300 只股票、约三年数据则大约是 300×750。股票池、时间范围和行业构成变化，都会改变分解结果，不能把一个小样本的结论当成整个市场事实。

传统三因子模型先指定市场、规模、价值等经济因子，再估计资产暴露。SVD 从数据里寻找正交的统计方向，不会先给它们经济名字。两者都可以降到三个维度，但不是同一种模型。

如果行是股票、列是时间，“去均值”至少有两种常见做法：

• 按行减均值：每只股票减去自身跨时间的长期平均收益，分析它围绕自身均值的共同波动；
• 按列减均值：每个交易日减去股票池当天的平均收益，去掉一部分当日共同涨跌，更关注相对表现。

这两种中心化不是一回事。特别是你想把第一方向解释为整体市场时，如果已经减掉了每天的共同收益，解释会发生变化。实验记录里要写明 axis、是否进一步除以波动率，以及拟合样本范围。

收益矩阵还要统一复权、交易日和缺失规则。停牌和跨市场假日不应未经说明就当作普通 0 收益。用收益而不是价格，通常更适合比较变化；但收益口径本身也要保持一致。

收益协方差分解更容易受到高波动股票影响；标准化后研究相关结构，权重会不同。两者都能研究，但不能把结果混在一起比较。

对中心化后的矩阵，常用下面的比例衡量第 k 个方向的能量贡献：

p_k = σ_k² ÷ Σ_jσ_j²

σ_k 是第 k 个奇异值。前 K 项累计占比可以辅助选择保留维度。比如某个样本里，第一奇异值约 1.4629、第一项解释约 40.7%，前六项约 82%，前九或十项约 90%。这些数字属于特定样本的观察，换股票池和区间后需要重新计算。

最多能有 min(16,722)=16 个方向，非零秩还可能更小。解释了 80% 的方差，意思是重构保留了该样本大部分变化，不是“预测准确率 80%”，也不是“保留了 80% 的利润机会”。较弱方向可能携带风险或预测信息。

U 可以表示股票在统计方向上的载荷，ΣVᵀ 可以作为相应因子时间序列的一种约定。缩放如何分配到两侧，必须固定后才能比较载荷大小。

还要注意 SVD 的符号任意性：某一列载荷和对应的因子时间序列同时乘以 −1，重构完全不变。因此，正负颜色本身不能直接解释为看涨或看跌。

市场共同波动

如果第一列多数股票载荷同号，而且对应时间序列与基准收益高度相关，可以提出“市场共同波动”的假设。示意载荷可能在 0.15—0.32，首项比例可能在 35%—45%，但这不是普遍标准。股票池集中在一个行业时，第一方向也可能只是行业共同波动。要对照沪深300、行业等权组合、不同股票池和不同时间段。

行业或风格分化

如果食品饮料、银行一侧为正，新能源、科技一侧为负，可以提出行业或风格分化解释。示意相关可能是 +0.6、+0.3、−0.4，但相关只是线索。它不直接证明资金从一个行业流向另一个行业，也不能把第二方向永远命名为“轮动”。

动量、反转、波动和规模

可以把因子时间序列与前期涨跌、已知动量组合、波动率、对数市值和行业收益分别比较。20 日内正自相关可能提示持续性，负自相关可能提示反转倾向；相关系数超过 0.7 也不自动等于统计显著。第四方向同时混合行业、规模和波动时，应分别检验，不能把多种原因合成一个确定结论。

AI 可以帮助整理载荷表、相关矩阵和支持/反证清单，但不能凭走势图编造主力行为。无法命名时，保留“潜在因子2”比硬贴标签更诚实。

可以用 120 个交易日的窗口，每 20 个交易日向前移动一次，记录第一方向的解释比例。研究时可以暂时用大于 50%、30%—50%、低于 30% 作为“共同结构较强、中等、较弱”的观察分档。

这些阈值是研究规则，不是普适的市场状态标签。比例升高可能来自少数极端交易日，也可能来自股票池变化。窗口之间高度重叠，曲线自然会连续，连续性本身不能证明有预测能力。

比较跨期载荷时，还要处理符号翻转和相近奇异值造成的方向交换。否则图上的突变可能只是分解表示换了方向。只看第一项比例能绕开一部分符号问题，但解决不了样本构成变化。

用前 K 个方向重构 R_K，残差是：

E = R − R_K

对每只股票，可以计算残差平方和占原中心化收益平方和的比例。比如保留前五个方向时，某只海外 ETF 的残差比例可能约 98%，这说明这套股票池的共同方向很难解释它，不等于它“有 98% 的阿尔法”。时区、假日、汇率和 ETF 折溢价都可能影响结果。

残差比例高，可能代表噪声、数据错误、遗漏的系统风险或真实个股事件；残差比例低，也不等于收益更高。可以把低于 30%、30%—50%、高于 50% 作为“共同解释较高、中等、较低”的探索分档，但不要直接把任何一档命名为可赚的阿尔法。

如果要谈预测或交易，必须继续做样本外检验、成本和流动性分析。残差只是尚未被当前低秩结构解释的部分。

另一个任务是把样本×特征矩阵降维。对处理后的 52 列因子，可以在训练期选择解释约 80% 方差的 8 个成分，再送入 XGBoost。一个示意结果是 AUC 约从 0.5423 变为 0.5412，差异很小；这类数字依赖数据和切分，不能外推成通用结论。

8 个成分是 52 列原始特征的线性组合，不是自动挑出 8 个原始因子。相关系数超过 0.8 时人工保留其中一列，是特征选择；SVD 是特征变换。前者更容易解释，后者可能更紧凑，但两者都要在独立验证中比较。

降维器只能在训练期拟合，验证集和测试集使用同一个已拟合的变换。如果先用全数据做 SVD，再切分训练和测试，就把未来分布泄漏进了训练流程。方差高不保证预测好，低方差信号也可能有价值，因此 K 要通过验证选择。

财报、新闻量、海外市场和商品特征也可以形成矩阵，但必须先定义频率、公告时间、单位和缺失处理。文本不能直接塞进数字矩阵，需要先转成可验证的数值表示。