因子模型的理论基础

当一个组合跑赢基准时，超额可能来自市场、规模、价值、盈利或投资风格，而不一定来自独立的选股能力。因子模型提供了一套可复查的拆解方式：先定义风险来源，再估计暴露，最后检验剩余的 α 是否可靠。

从均值—方差到 β

CAPM 的理想化前提包括：投资者只关心收益均值和方差，可以按同一无风险利率借贷，投资者对收益分布有相同判断，没有税费和交易成本。市场组合有效时，资产 i 的预期收益满足：

E[R_i] − R_f = β_i × [E[R_M] − R_f]

β_i = Cov(R_i, R_M) ÷ Var(R_M)

β 表示资产对市场的敏感度。CAPM 认为只有不能通过充分分散消除的市场风险能获得风险补偿，特质风险本身不自动带来更高预期收益。

Jensen α和方差分解

用历史数据估计时，可写成：

R_i,t − R_f,t = α_i + β_i(R_M,t − R_f,t) + ε_i,t

若 CAPM 作为基准成立，α_i 应接近 0。方差分解为：

σ_i² = β_i²σ_M² + σ_ε,i²

R² = β_i²σ_M² ÷ σ_i²

R² 高说明市场解释了更多波动，不代表模型一定解释了平均收益。α 是否可靠还要看标准误、样本长度和残差结构。

CAPM 的边界

市场组合包含所有风险资产，现实中无法完整观测。用某个股票指数代替市场，只能检验该代理组合和模型设定，不是对完整 CAPM 的直接终审。APT 则从无套利出发，假设收益由少数共同因子驱动：

R_i = E[R_i] + Σ[b_i,k × F_k] + ε_i

无套利条件下，预期收益近似为：

E[R_i] − R_f ≈ Σ[b_i,k × λ_k]

λ_k 是因子风险溢价。APT 不要求可观测的完整市场组合，但也不告诉你应该选哪些因子。

三因子

三因子时间序列模型可写成：

R_i,t − R_f,t = a_i + b_iMKT_t + s_iSMB_t + h_iHML_t + e_i,t

• MKT：市场超额收益。
• SMB（Small Minus Big）：小盘组合减大盘组合。
• HML（High Minus Low）：高账面市值比组合减低账面市值比组合。

经典 2×3 排序先按市值分小、大，再按账面市值比分价值、中性、成长，形成 6 个组合。HML 常写为：

HML = 0.5 × (SV + BV) − 0.5 × (SG + BG)

在大小盘内部做价值减成长，目的是减少 HML 中的规模暴露。

五因子和经济含义

五因子增加：

• RMW（Robust Minus Weak）：高盈利能力减低盈利能力。
• CMA（Conservative Minus Aggressive）：低投资减高投资。

五因子模型为：

R_i,t − R_f,t = a_i + b_iMKT_t + s_iSMB_t + h_iHML_t + r_iRMW_t + c_iCMA_t + e_i,t

从股利贴现关系看，价格、账面权益、未来盈利和再投资共同决定估值。这个恒等关系可以帮助理解为什么价值、盈利和投资会被用作描述性因子，但不能单独证明这些溢价一定是风险补偿。

如何检验模型

单个组合的 α 不能代表整个模型。GRS 检验同时检验多个组合的截距是否为 0。直觉是：如果加入截距后还能显著提高可达到的夏普，因子模型没有解释完这些组合的平均收益。模型比较应报告平均绝对 α、截距的稳健 t 值和样本外表现，而不是只挑一个漂亮的 R²。

美国因子构造不能直接复制到中国市场。中国股票市场的上市结构、壳价值、交易制度、财务数据可得性和投资者结构都不同。CH-3 等中国因子研究会针对股票池和价值指标调整构造方法，例如对极小市值股票进行处理、用盈利/价格等指标构造价值维度。不同因子库在断点、加权、复权、财报滞后和股票池上的差异，会让“SMB”或“价值因子”不再是完全相同的变量。

因此，看到 A 股产品有“因子暴露”时，应先问清：因子是什么、股票池是什么、调仓频率是什么、是否含分红、财务数据按哪个时间点可得。

时间序列 OLS 写成：

y = Zθ + e

θ_hat = (Z'Z)^−1Z'y

Z 第一列为常数，后面是因子收益。由于 OLS 正规方程，平均超额收益满足：

平均 y = α_hat + Σ(β_hat_k × 平均 f_k)

金融残差常有异方差和自相关，标准误可以使用 Newey-West 稳健估计。它改变标准误估计，不会自动改变回归系数。

• Sharpe《Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk》
• Ross《The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing》
• Fama & French《Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds》
• Fama & French《A Five-Factor Asset Pricing Model》
• Grinold & Kahn《Active Portfolio Management》