时间序列计量

时间序列模型依赖过去的统计关系能够延续到未来。价格水平通常会漂移，收益的波动也会随市场状态变化。先诊断平稳性和相关结构，再决定差分和波动模型，能避免把随机游走误当成均值回归。

弱平稳

序列 y_t 弱平稳，通常要求：

E[y_t] = μ

Var(y_t) = σ² < ∞

Cov(y_t, y_(t−k)) = γ_k，只由间隔 k 决定。

价格水平通常不满足这些条件，收益在一定范围内更接近平稳，但“更接近”不等于严格平稳。

自相关与 Ljung-Box

样本自相关为：

ρ_hat_k = Σ[(y_t − y_bar)(y_(t−k) − y_bar)] ÷ Σ[(y_t − y_bar)²]

白噪声下，单个样本自相关大致落在 ±1.96 ÷ √T 的噪声带内。Ljung-Box 将前 m 阶合并：

Q(m) = T(T + 2) × Σ[ρ_hat_k² ÷ (T − k)]

Q 值很大时，说明至少部分滞后存在自相关。但收益自相关接近 0，不代表收益独立；收益平方或绝对收益有自相关时，波动仍然具有时间结构。

单位根和 ADF

AR(1) 形式为：

y_t = α + ρy_(t−1) + ε_t

ADF 回归写成：

Δy_t = α + γy_(t−1) + Σ[φ_i × Δy_(t−i)] + ε_t

原假设 H0：γ = 0，即存在单位根；备择假设 γ < 0，即序列平稳。ADF 的统计量在原假设下不服从普通 t 分布，不能用 −1.96 机械判断。带常数项时，常见近似临界值为 1% −3.430、5% −2.862、10% −2.567；具体数值应以检验设定和软件版本为准。

半衰期

若 ADF 回归中的 γ < 0 且检验支持平稳，偏离均值的半衰期近似为：

半衰期 = ln(0.5) ÷ ln(1 + γ) ≈ −ln(2) ÷ γ

γ = −0.05 时，精确半衰期为 ln(0.5) ÷ ln(0.95) ≈ 13.5 个周期，近似值约 13.9 个周期。半衰期衡量回归速度，不等于策略一定可盈利。

GARCH(1,1)

收益可以写成：

r_t = μ + ε_t，ε_t = σ_t z_t

条件方差 h_t = σ_t² 由过去信息更新：

h_t = ω + αε_(t−1)² + βh_(t−1)

ω 是长期水平相关的常数，α 表示新冲击的反应程度，β 表示过去波动的记忆程度。通常要求 ω > 0、α ≥ 0、β ≥ 0 且 α + β < 1，以保证存在有限的长期方差。

长期方差为：

长期方差 = ω ÷ (1 − α − β)

冲击半衰期为：

半衰期 = ln(0.5) ÷ ln(α + β)

EWMA 是 GARCH 的一个边界形式：令 ω = 0、α = 1 − λ、β = λ，则 α + β = 1，没有向长期均值回归。它简单稳健，但多步预测不会自动回到长期水平。

示意更新

若 ω = 0.1278、α = 0.0821、β = 0.8038，昨天条件方差为 1，昨天冲击为 −3（收益单位为百分比），则：

h_t = 0.1278 + 0.0821 × 9 + 0.8038 × 1 = 1.6705

σ_t = √1.6705 ≈ 1.29%。

持续性 α + β = 0.8859，长期方差约为 0.1278 ÷ (1 − 0.8859) = 1.120，长期日波动约 1.06%。

GJR-GARCH 还可以加入负冲击指示项：

h_t = ω + [α + γI(ε_(t−1) < 0)] × ε_(t−1)² + βh_(t−1)

γ > 0 表示同等幅度的下跌比上涨更容易推高未来波动。

为什么不总做一阶差分

一阶差分能把价格变成收益，但会完全丢掉价格位置。分数阶差分用 0 到 1 之间的 d，尝试在平稳与记忆之间取得折中。

用滞后算子 B 表示：

(1 − B)^d = Σ[w_k B^k]

递推权重为：

w_0 = 1

w_k = −w_(k−1) × (d − k + 1) ÷ k

d = 0 时不差分，d = 1 时退化为一阶差分；0 < d < 1 时，较早的价格仍保留较小权重。实际计算要截断无限权重，可用固定窗口方法：权重绝对值低于阈值时停止。

常见研究步骤是从较小 d 开始，寻找刚好通过平稳性检验的最小 d，并同时报告有效样本量和与原价格的相关性。d 不能在全样本上选好后直接当作完全样本外参数，否则会把测试期信息用于特征工程。

• Chan《Algorithmic Trading》
• Engle《Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation》
• Bollerslev《Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity》
• López de Prado《Advances in Financial Machine Learning》