量化投资的度量语言：收益、风险与主动管理基本定律

一个策略说“年化收益 12%”时，你还需要知道它承担了多少风险、相对哪个基准、是否扣除了费用，以及这份超额是否只是市场暴露。量化研究先建立一套统一的度量语言，后面的数据、因子和回测才有可比性。

简单收益和对数收益

简单收益是：

R_t = (P_t + D_t) ÷ P_(t−1) − 1

P_t 是期末价格，P_(t−1) 是期初价格，D_t 是期间每股分红。没有分红时，D_t = 0。

对数收益是：

r_t = ln(1 + R_t)

不含分红时，r_t = ln(P_t ÷ P_(t−1))。

两种收益各有用途：跨时间合并时，对数收益可以直接相加；组合中不同资产的收益，应该用简单收益按权重加权。因为：

ln(Σ w_i(1 + R_i)) ≠ Σ w_i ln(1 + R_i)

例如两只资产各占一半，收益分别为 10% 和 −6%，组合简单收益是 0.5 × 10% + 0.5 × (−6%) = 2%，不能把两只资产的对数收益直接加权后当成组合收益。

算术平均、几何平均和年化

连续两期收益为 +50% 和 −50% 时，算术平均是 0%，但财富变为 1 × 1.5 × 0.5 = 0.75，实际亏损 25%。波动会拖累复利。小波动近似下，几何平均收益 g ≈ μ − σ² ÷ 2，其中 μ 是算术平均收益，σ 是每期收益的标准差。

在独立同分布的近似下，日频年化常用 252 个交易日作为换算口径：

• 年化收益的简单近似 = 日均收益 × 252。
• 年化波动率 = 日波动率 × √252。

如果日波动率为 1.5%，年化波动率约为 1.5% × √252 = 23.8%。年化因子不是事实常数，报告中应写清使用的交易日口径。

夏普比率

SR = (E[R_P] − r_f) ÷ σ_P

E[R_P] 是组合预期收益，r_f 是无风险利率，σ_P 是组合收益波动率。夏普表示每承担一单位总波动，获得多少超出无风险利率的收益。

示意：年化收益 12%、无风险利率 2%、年化波动率 20%，夏普为 (12% − 2%) ÷ 20% = 0.5。

主动收益、跟踪误差和信息比率

相对基准 B 的主动收益为：

R_A = R_P − R_B

跟踪误差为主动收益的标准差：

TE = std(R_A)

信息比率为：

IR = E[R_A] ÷ TE

它回答的是：每承担一单位偏离基准的风险，平均换来多少主动收益。

示意：月均主动收益 0.5%，月度跟踪误差 1.155%。按 12 个月年化，主动收益约 6%，跟踪误差约 1.155% × √12 = 4.0%，信息比率约为 6% ÷ 4% = 1.5。

β、α与残差收益

单因子回归可以写成：

R_P − r_f = α + β(R_B − r_f) + ε

β = Cov(R_P, R_B) ÷ Var(R_B)，表示组合对基准的敏感度；α 是扣除 β 倍基准超额收益后的截距；ε 是无法由基准解释的残差。

主动收益不等于 α。示意：无风险利率 2%，基准收益 12%，组合 β = 1.1，组合收益 16%。组合超额收益为 14%，基准超额收益为 10%，所以：

• α = 14% − 1.1 × 10% = 3%。
• 主动收益 = 16% − 12% = 4%。
• 多出来的 1%来自 β 比 1 高出的市场暴露，不应全部称为选股能力。

三个核心量

• IC（信息系数）：预测值与未来实际收益的相关系数。常用 Spearman 秩相关，称为 Rank IC。
• BR（广度）：一年中相互独立地运用技能的次数。例如每月对 500 只股票做一次预测，名义 BR = 500 × 12 = 6000。
• TC（传导系数）：预测 α 转化为实际主动权重的程度。做空限制、换手限制和风险约束都会让 TC 小于 1。

理想条件下的基本定律是：

IR ≈ IC × √BR

有现实约束时常写成：

IR ≈ TC × IC × √BR

简化推导

设每只股票的残差收益标准差相同，记为 ω；标准化预测分数为 z_n，方差为 1；预测分数与残差收益的相关系数为 IC。正态条件下：

α_n = E[θ_n | z_n] = IC × ω × z_n

按分数下注，主动头寸设为 h_n = c × z_n ÷ ω。于是预期主动收益近似为 c × IC × N，主动风险近似为 c × √N。相除后得到：

IR ≈ IC × √N

每年有 m 期独立决策时，N × m 就是广度 BR，因此得到 IR ≈ IC × √BR。这个结果是比较研究方向的近似，不是业绩承诺。

示意计算

• 选股：IC = 0.05，500 只股票，每月调仓，BR = 6000，理论 IR 约为 0.05 × √6000 = 3.87。
• 择时：IC = 0.20，每季度判断一次，BR = 4，理论 IR = 0.20 × 2 = 0.40。

选股的单次技能更低，但因为广度更大，理论 IR 反而更高。现实中还要扣除交易成本、容量和相关性影响，有效广度通常小于名义广度。

• Grinold & Kahn《Active Portfolio Management》
• Sharpe《Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk》
• Lo《The Statistics of Sharpe Ratios》