收益分布与统计推断

金融收益很少严格服从正态分布，策略回测也常常经过多次试验。只看一组收益率和一个夏普，容易低估极端亏损，也容易把运气误认为能力。本课把“这个数字有多可信”拆成可检查的统计问题。

四阶矩

设有 T 个收益 r_t，样本均值为 μ̂，样本标准差为 σ̂。

• 均值：μ̂ = (1 ÷ T) × Σ r_t。
• 方差：σ̂² = [Σ(r_t − μ̂)²] ÷ (T − 1)。
• 偏度：γ₃ = (1 ÷ T) × Σ[(r_t − μ̂) ÷ σ̂]³。
• 原始峰度：γ₄ = (1 ÷ T) × Σ[(r_t − μ̂) ÷ σ̂]⁴。

正态分布的偏度为 0、原始峰度为 3。超额峰度是 γ₄ − 3，正态分布的超额峰度为 0。软件报告峰度时必须先确认口径。

负偏表示左尾更长，常见于卖出期权或收取风险溢价的策略；正偏表示平时小亏、偶尔大赚，常见于趋势跟踪。峰度较高意味着极端收益比正态分布预期更常见，称为肥尾。

Jarque-Bera 检验

JB = (T ÷ 6) × [γ₃² + (γ₄ − 3)² ÷ 4]

原假设是收益服从正态分布。带两个矩条件的近似下，5% 临界值约为 5.99。不能拒绝正态不等于证明收益就是正态，尤其是样本很短时检验力有限。

为什么尾部比中间更重要

标准正态下，绝对值超过 3 个标准差的概率约为 0.27%，超过 4 个标准差的概率约为 0.0063%。真实金融数据中，这些极端日往往比正态分布预测的更多。用正态分布做 VaR 或压力测试时，最容易错在尾部，而不是普通交易日。

正态、独立收益下的标准误

样本夏普为 SR_hat = μ_hat ÷ σ_hat。独立同分布且近似正态时：

Var(SR_hat) ≈ (1 + SR² ÷ 2) ÷ T

SE(SR_hat) = √[(1 + SR² ÷ 2) ÷ T]

T 是收益期数，SR 是每期而不是年化的夏普。换成年化后，在常见年化夏普范围内，经验上可以记作：

年化夏普标准误 ≈ 1 ÷ √Y

Y 是样本年数。1 年数据的标准误约 1，4 年约 0.5，9 年约 0.33；95% 区间还要乘约 1.96。

示意：2 年日频回测，年化夏普 1.2。标准误约 1 ÷ √2 = 0.71，95% 区间约为 1.2 ± 1.96 × 0.71，即约 [−0.19, 2.59]，不能据此拒绝真实夏普为 0。

偏度、峰度和自相关

非正态收益下，估计方差近似为：

Var(SR_hat) ≈ [1 − γ₃ × SR + (γ₄ − 1) × SR² ÷ 4] ÷ T

γ₄ 必须是原始峰度。负偏会增大误差；肥尾也会增大误差。

如果月度收益存在正自相关，直接用月度夏普乘 √12 会高估年化夏普。Lo 的时间聚合修正因子为：

η(q) = q ÷ √[q + 2 × Σ((q − k) × ρ_k)]

其中 k 从 1 到 q−1，ρ_k 是 k 阶自相关。所有自相关为 0 时，η(q) = √q；正自相关越强，η(q) 越小。

多次试验：最好的那个不一定最好

如果研究员试验 N 个没有技能的策略版本，再挑出表现最好的一个，最大夏普的期望值也会大于 0。试验次数越多，最优值越容易被噪声推高。因此回测报告应记录尝试过的参数、模型和筛选规则，而不是只展示最终版本。

概率夏普 PSR 的思路，是估计真实夏普超过门槛 SR_star 的概率。计算时要使用每期夏普和原始峰度；如果先把年化夏普直接代入，结果会失真。考虑过多次试验后，紧缩夏普 DSR 会把“最好结果的偶然性”计入门槛。

普通 bootstrap

把 T 个历史收益看成总体，反复有放回抽取 T 个收益，每次计算一个夏普：

1. 从历史收益中有放回抽样，组成一条长度为 T 的假想历史。
2. 计算这条历史的夏普。
3. 重复 B 次，例如 10000 次。
4. 取 2.5% 和 97.5% 分位数作为示意的 95% 百分位区间。

普通 bootstrap 打乱了时间顺序，适合独立近似的样本。若收益有自相关或波动聚集，应考虑块 bootstrap：每次抽取连续的一段收益，再拼成长度为 T 的序列。块长应做敏感性测试，不能把某个经验长度当成普遍规则。

bootstrap 的边界

bootstrap 只能重组已有历史，不能创造历史样本中没有出现的极端行情，也不能自动修复结构变化、策略拥挤和多次试验偏差。它是统计不确定性的工具，不是未来风险的保证书。

• Cont《Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues》
• Lo《The Statistics of Sharpe Ratios》
• Bailey & López de Prado《The Deflated Sharpe Ratio》
• Efron《Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife》