阶段小测：度量、数据与统计

一个产品说“年化超额 10%”或“IR 1.5”，这些数字本身并不能说明策略可靠。它可能没有扣除费用，基准可能没有包含分红，回测可能试过很多版本，α 也可能只是某种风格暴露。本课把前 1–6 课的度量、数据和统计知识串起来，形成一套可复查的判断顺序。

简单收益、对数收益和复利

简单收益可以写成：

R_t = (P_t + D_t) ÷ P_(t-1) − 1

其中 P_t 是期末价格，D_t 是期间分红。对数收益是：

r_t = ln(1 + R_t)

简单收益适合按资产权重合成组合收益；对数收益适合跨时间相加。记忆方法是：横向比较不同资产时常用简单收益，纵向累积多个时期时可以加总对数收益。

多期收益必须复利：

1 + R_(0→T) = ∏(1 + R_t)

当收益波动变大时，算术平均收益和实际复利速度之间的差距通常会扩大。只报平均收益，不报波动和路径，容易高估资金增长速度。

算术超额和几何超额

算术超额：

R_A = R_P − R_B

几何超额：

R_A = (1 + R_P) ÷ (1 + R_B) − 1

前者是同一期间收益的差，后者对应产品净值相对基准净值的变化。两者在大涨大跌时可能差别明显，看到“超额”时要先问清采用哪一种。

还要确认基准是否包含分红、收益是扣费前还是扣费后、样本从哪天开始，以及是否使用了当时还没有公布的数据。价格需要正确处理除权除息，财务数据需要按公告时间对齐，股票池需要避免只保留今天仍然存在的股票。

标签和成交时点

如果信号在 t 日收盘后才能计算，最早也要在 t+1 日开盘成交。持有 h 个交易期的标签可以写成：

y_t = P_open(t+1+h) ÷ P_open(t+1) − 1

直接用 t 日收盘价作为成交价，就隐含了信号计算完成后还能回到收盘价成交的假设，可能引入前视偏差。

在独立同分布的近似下，日收益可以按下面的方式年化：

平均收益：年化均值 = 252 × 日均值波动率：年化波动 = √252 × 日波动夏普：年化夏普 = √252 × 日夏普

月度数据对应 12 和 √12。收益有自相关时，简单的平方根法则可能失效；正自相关会让年化夏普偏高，应该使用考虑自相关的稳健估计。

收益分布还可能有偏度、肥尾和波动聚集。正态分布下，极端收益出现得较少；金融收益中，极端波动往往比正态模型预测的更多。GARCH(1,1) 用下面的关系描述条件方差：

σ_t² = ω + α × ε_(t−1)² + β × σ_(t−1)²

α 反映新冲击，β 反映既有波动的延续，α + β 越接近 1，冲击消退通常越慢。一个长期平均年化波动率不能代替对当前条件波动的判断。

夏普、信息比率和基本定律

夏普比率：

SR = E(R_P − R_f) ÷ σ(R_P − R_f)

信息比率的常见写法是：

IR = E(R_A) ÷ TE，TE = σ(R_A)

Grinold 和 Kahn 的严格拆分还会把主动收益分为主动 β 和残差收益：

R_P − R_B = (β_P − 1) × R_B + α_P + ε_P

当 β_P 不等于 1 时，普通主动收益中有一部分来自多承担或少承担基准风险。因此评价 α 或 IR 时，要说清楚使用的是哪种定义。

主动管理基本定律是一个近似关系：

IR ≈ TC × IC × √BR

IC 是预测与实际结果的相关程度，BR 是每年有效的独立下注次数，TC 是从理论最优持仓到实际持仓的传导系数。这个关系依赖下注相互独立、IC 稳定等条件。名义交易次数很多，不等于有效广度很大；样本重叠、行业相关和交易成本都会降低实际结果。

在独立同分布、近似正态的条件下，单期夏普估计值的方差可近似写成：

Var(SR_hat) ≈ (1 + SR² ÷ 2) ÷ T

公式中的 SR 和 T 必须使用同一频率。把年化 SR 和年数直接混进单期公式，会把误差算错。收益非正态或存在自相关时，实际不确定性通常更大。

因此，看到三年 IR 1.5，至少要问：一共有多少个月或多少天？这是实盘还是回测？区间估计有多宽？夏普概率和最短记录长度等方法，都是在提醒你：一个点估计不能代替对估计误差的说明。

只试一次和试了一百组参数后挑最好的一组，证据强度不同。即使所有策略都没有真实预测能力，试验次数越多，最好的那条曲线也越可能出现较高夏普。

因此回测要记录：

• 试过多少个指标、参数、股票池和持有期；
• 哪一段数据用于选择，哪一段数据真正用于样本外检验；
• 是否调整了策略后又重复使用同一段测试数据；
• 是否报告了交易成本、冲击成本、换手和容量限制。

PSR 用来衡量真实夏普超过某个门槛的概率；DSR 则进一步把多次试验带来的选择偏差纳入门槛。回测夏普很高，但如果它来自大量试验后的挑选，不能和事先确定、长期运行的实盘结果直接比较。

时间序列回归可以写成：

R_i,t − R_f,t = α_i + Σ(β_i,k × f_k,t) + ε_i,t

α 是在所选因子模型下仍未被解释的部分。换一组因子，α 就可能变化。市场、规模、价值、盈利和投资等因子都可能解释部分收益，所以“有没有 α”必须补充“相对于哪个模型、哪个样本、哪种标准误”。

当残差存在异方差或自相关时，可以使用 Newey-West 稳健标准误。它改变的是不确定性估计，不会自动改变回归系数。多个组合的模型检验也不能只看某一个组合的 R² 或 α。

• “这个超额是算术口径还是几何口径？基准是否包含分红？”
• “IR 是实盘还是回测？使用了多少个月的数据？”
• “如果是回测，迭代过多少版本？样本外区间从哪一天开始？”
• “超额里市值、价值或动量暴露贡献了多少？”
• “财务数据按公告日对齐了吗？股票池是否包含当时已经退市的股票？”

交流时不要把对方未公开的持仓、参数或客户信息当作依据，也不要把未经正式披露的信息当成可引用的数据。

• CFA Institute：《2020 GIPS Standards for Firms》
• Lo：《The Statistics of Sharpe Ratios》
• Bailey 与 López de Prado：《The Deflated Sharpe Ratio》
• Grinold 与 Kahn：《Active Portfolio Management》